Un tir à 3 points décisif

Nolan occupe le poste d'ailier dans son équipe de basket-ball. Son équipe est menée de 2 points. Il ne reste que 5 secondes avant la fin du match et il aimerait tenter un panier à 3 points. Nolan lance un tir dont la trajectoire est modélisée par la fonction : \(f(x)=−0{,}5x^2+3x+0{,}5\) définie sur l'intervalle \([0;7]\) où \(x\) est le temps exprimé en seconde depuis le lancer et \(f(x)\) la hauteur du ballon en mètre.

Le panier est à une hauteur de 3,15 mètres.

Problématique : Nolan va-t-il réussir son panier à 3 points et donner la victoire à son équipe ?

1. Que représente la fonction \(f\) ? À quoi correspond la variable \(x\) ?

2. Calculer \(f(2)\) et interpréter le résultat.

3. Calculer la fonction dérivée de \(f\).

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider si besoin !

4. On souhaite étudier le signe de la fonction dérivée sur l'intervalle `[0;7]`. Voici sa représentation graphique.

a. Sur quel intervalle de \([0;7]\) la fonction \(f'\) se situe-t-elle au dessus de l'axe des abscisses ?

b. Pour quelle valeur de \([0;7]\) la fonction \(f'\) coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

c. Sur quel intervalle de \([0;7]\) la fonction \(f'\) se situe-t-elle en dessous de l'axe des abscisses ?

5. Compléter le tableau de signes de la fonction \(f'\)ci-dessous.

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider !``

6. Voici la représentation graphique de la fonction \(f\).

À partir des connaissances de seconde, en déduire les variations de la fonction \(f\) et compléter le tableau de variations suivant.

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7. Compléter les phrases suivantes avec le mot positif ou négatif :

a. Lorsque la fonction \(f\) est croissante, la fonction dérivée \(f'\) a un signe...
b. Lorsque la fonction \(f\) est décroissante, la fonction dérivée \(f'\) a un signe...

8. La fonction \(f\) admet un extremum. Préciser sa valeur.

Coup de pouce 4 : une perle est là pour vous aider !

9. À partir des questions 6, 7 et 8, construire les éléments de réponse pour répondre à la problématique.